[狹義相對論] 雙生兒佯謬(Twin Paradox)存在嗎？

在狹義相對論(special relativity)中，

(1) 任何兩個慣性(均速)運動的觀察者A和B，如A以某速率離開B，則於B看來A的時間會比自己的慢。

但這樣會看來產生以下這個奇怪的現象：

設想一對雙生兒P和Q， Q以接近光速離開在地球的P，坐太空船到另一行星，然後立即以同速折返到地球。 (圖一) 若此時他們比較逝去的時間，會發生何事？

圖一、雙生兒佯謬，c是光速

這起初看來沒有問題：Q以高速運動，根據(1)，Q相對P的時間會比較慢。假設Q以86.6%光速開P，他的時間流逝會約是P的一半，例如Q覺得過了4天，P已覺得過了8天(留意Q會覺得一切如常，而非「慢動作」)。

但換個角度看，我們將得到相反的結論。速率是相對的，相對論中沒有如牛頓物理中絕對的參照系(reference frame) (即座標)，所以沒有物體是絕對靜止的，P(和整個太陽系)相對Q來說也是以86.6%光速離開；那麼P的時間相對Q來說也慢一半。但之前我們明明說Q的時間相對P慢：P的時間怎可能比Q的快，又比它慢？！

在不同的角度出發，推論出兩個不相容的結果，這就是佯謬(也叫悖論paradox)。那麼，相對論是否有內在矛盾？

首先，(1)是沒錯的，但它沒有描述高速運動下參照系的改變。我們要理解「雙生兒佯謬」中參照系的改變，要利用時空圖(spacetime diagram)；在這裡為了簡化，假設空間只有一維而非真實的三維。(圖二) (本人另一篇文章有較詳細的介紹 [1])。

圖二、簡化了的時空圖。x是空間軸而t是時間軸

當Q以某速率向正的方向離開P，他的參照系相對P來說是扭曲了的。(圖三)

圖三、黑色的是P的參照系，紅色的是Q的參照系；如果Q以負的方向離開P，綠色的就是他的參照系。

現在我們回想「佯謬」的情況。如果把P視為靜止，P和Q在時空圖中的軌跡會是如此：

圖四、垂直的是P的軌跡 [2]

打橫的平面叫「同時平面」(hypersurface of simultaneity)，它們垂直觀察者的時間軸，上面的事件於觀察者來說是同時發生的。當P過了2天，Q看來只過了1天，如此類推，當Q回來時P過了8天，Q只過了4天。

但Q觀察到的並非如此。由於Q的座標系(包括時間軸)相對P扭曲了，其同時平面也會傾斜(註：同時性是相對於觀察者的[1])：

圖五、Q的同時平面 [2]

所以，Q過了首兩天後，會發現P只過了一天。在它轉向回程時，由於座標系的轉變，會突然發現P已經過了7天。最後，Q回到地球時，會發現自己過了4天而P過了8天。

雖然P和Q中途的觀察不一樣，但最後對時間流逝的觀察卻是一樣；所以雙生兒佯謬是不存在的，這錯解是基於我們忽略了參照系的改變，只是想著法則(1)。


參考

[1] The Heart of Science: [進階物理] 狹義相對論的同時性 | https://adrianmkl.blogspot.com/2018/03/blog-post_18.html

[2] Spacetime, Tachyon, Twins, ... | https://www.pitt.edu/~jdnorton/teaching/HPS_0410/chapters/spacetime_tachyon/index.html

[進階物理] 狹義相對論的同時性

在「霍金的時間」裡，我談到「狹義相對論中，時間和空間是相對的，同時性也是相對的」。本文旨在用「時空圖」(spacetime diagrams)來簡單展示狹義相對論(special relativity)如何導致同時性(simultaneity)相對而非絕對。

同時性：想像你在家中開電視時，留意到窗外的天上有一道閃電，兩事是同時發生的，換句話說，那兩件事具有同時性。日常經驗中，如有正確的認知，一人認為兩件事同時發生，另一人也必認為如此；如以上的例子中，你母親不該認為你開電視十秒後才有閃電。然而在狹義相對論中，同時性是相對於觀察者速率(物理上「速率」包括方向)，即一人認為兩件事同時發生，另一人可以不認為如此。

時空圖：其實只是一個座標圖，當中有兩種座標軸：一維的空間軸(x)和時間軸(t)(圖一)(註1)。它可用來簡單地表達(1)事件的發生和(2)物體和觀察者的運動，進而分析狹義相對論中的概念；真實世界中空間有上下、左右、前後三維(three dimensions)，只要把時空圖一維的空間擴充至三維便可(加上時間是四維，但人腦難以想像四維，所以只有以純數學處理)。

圖一

一、牛頓物理的相對運動

先從日常經驗入手，了解牛頓物理的相對運動(relative motion)，有助我們明白為何要引入狹義相對論。

情境一：一人以1.5 m/s的速率運動，旁有一車以3 m/s向同一方向運動(圖二)

圖二

那麼車相對那人的速率是多少？因為人也在運動，在他看來車的速率少於3 m/s。

車相對人的速率 = 3 - 1.5 = 1.5 m/s

這結果合乎我們的常識，並將有利我們了解情景二。

情境二：在太空中，一人靜止不動，以電筒照射出一條光線；太空船沿光線同一方向以1.5 x 10⁸ m/s的速率運動，人和太空船在某時刻相遇(圖三)。

圖三

真空中，光的速度約為3 x 10⁸ m/s，這太空船的速度剛好是它一半。

如我們以時空圖表達以上情況，將會如圖四一樣。人和太空船在t = 0的時間，在x = 0的位置相遇，橙色線是光在時空的軌跡，而藍色線是太空船的軌跡。當一秒過去後，太空船前進了1.5 x 10⁸ m，兩秒後，太空船共前進了3 x 10⁸ m…

圖四

由於人靜止不動，他的位置一直都是x = 0，所以他在時空的軌跡就是t軸，而整個x-t座標系統就是這個人的座標系(reference frame)。這樣看來，太空船的軌跡也可看成是其座標系中的時間軸(t’)。

回想情境一中，車相對人的速率可以兩者速率減出。

同理，情境二中，光相對太空船的速率 = 3 x 10⁸ - 1.5 x 10⁸ = 1.5 x 10⁸ m/s。

所以相對人來說，光的速率是3 x 10⁸ m/s，但對於太空船來說卻是1.5 x 10⁸ m/s，兩者不同。問題是這不乎合我們的實際觀察。實際的觀察中，對於以任何速率運動的觀察者，真空中的光速都是3 x 10⁸ m/s！

就是由於光速的絕對性，這個現代的物理定律，我們必須修正牛頓物理，引入狹義相對論。


二、相對論的同時性

留意，從這裡開始，我們要假設相對論的前設：對於任何觀察者光速都是3 x 10⁸ m/s。

由於如此，加上我刻意把一秒和3 x 10⁸ m畫成相同長度，光在時空圖的軌跡永遠都成+/-45度角。(見圖四)

現在看看情境三：這情況和情境二相同，只是原本的太空船A前面3 x 10⁸ m，有另一艘太空船B以1.5 x 10⁸ m/s向同一方向運動(兩者速率相同，所以B相對A是靜止的)。這次是太空船A在t = -1 s向前照射出一條光線，而太空船B的尾有一面鏡子反射光線給A(這也是它這裡唯一功用！)。(圖五)

圖五

在太空船A的座標系(x’-t’)表示出來會是如何呢？ A在t’ = -1 s 發射光線後，在t’ = 0光線被B反射，在t’ = 1 s回到A。同樣光的軌跡總是成45度。(圖六)

圖六

好，現在我們試試把A的座標系，畫在那靜止的人的座標系。這樣可以得出有趣的結果！

記住太空船A和那人在t’ = t = 0, x’ = x = 0相遇，先如圖四畫上t’軸。光的軌跡總是成45度，也畫上光的軌跡。(圖七)

圖七

記住在t’ = 1 s光線回到A，而光的軌跡總是成45度。這個光軌跡的轉向成90度，轉向的一點代表t’ = 0這個時刻，所以可畫上太空船A的空間軸x’。(圖八)

圖八

在圖八中，我們看見運動中的太空船A的座標系，相對於靜止的人來說是扭曲了的。所以所謂時間和空間，都是相對於觀察者，而非如牛頓物理中是絕對的。(註2)

更奇怪的是，相對太空船A來說，「A和人相遇」和「光反射了」兩個事件都是在t’ = 0發生的。但相對那人來說，「A和人相遇」在t = 0時發生，而「光反射了」是在之後才發生的。

太空船A認為是同時的事，對人來說卻不是。所以相對論中，由於光速絕對，時間、空間、同時性都是相對的。但由於我們日常經驗中的相對速率都遠低於光速，這些相對論的影響都難以察覺。


進階閱讀：

[狹義相對論] 雙生兒佯謬(Twin Paradox)存在嗎？

http://adrianmkl.blogspot.com/2018/06/twin-paradox.html

Special relativity | Physics | Science | Khan Academy
https://www.khanacademy.org/science/physics/special-relativity


註1：在相對論中常用的時空圖 - 閔可夫斯基圖(Minkowski diagrams) - 中，時間軸將乘以c，即光速，變成ct，以表示時間和空間在時空(spacetime)中的連續性(continuum) 。但這裡為了簡化，只用t。

註2：所謂扭曲，也是相對的。相對太空船A，人的座標系也是扭曲了，也可以時空圖表達出來，只是「正常」的座標換成了太空船A的。