常有人宣稱大自然充滿黃金比例，更有許多人以此來大做文章，原來當中有許多宣稱根本是無中生有，純屬造謠。
數學既為量化、客觀化自然觀察的一個工具，也被大部份人認為是大自然背後的隱藏規律。人類能利用公式表達自然中量與量的關係，例如質能互換公式(E=mc^2) 和牛頓第二定律(F=ma)。科學和數學的完美結合，告訴我們現在的宇宙是有序的，這相信沒有多少人反對。
有些人喜歡將「數學是大自然背後的隱藏規律」推至極限，其中一個說法是大自然潛藏了許多固定的模式，是人類未能了解的。當中的表表者莫過於黃金比例(golden ratio)~ 1 : 1.6180339887...了。
最容易得出黃金比例的方法乃是透過黃金分割(golden section)：將一條有固定長度的線分割成兩部份，較長部份長度是a，較短部份長度是b，如果a : b = (a+b) : a，那麼這個比例就是黃金比例。利用這個定義，我們可以計算黃金比例的值[12]。
「大自然中的黃金比例」
坊間最為人熟悉的自然中的黃金比例包括：
1. 「向日葵花中心的種子根據黃金比例排列」。想像由花的中心一點放一粒種子，貼近中心再放另一粒，成一角度。由此一角度順時針轉約0.618個圓(即360 x 0.618 = 222.48度)，又貼近中心放一粒，不斷重複，就可以重現向日葵籽的密鋪排列方式。而0.618 : 1 = 1 : 1.618 正正是黃金比例。在以下網頁內的flash app，可試試利用不同角度排列向日葵籽：
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(最右邊的種子根據黃金比例分佈) |
2. 「鸚鵡螺殼的切面成黃金螺旋」。鸚鵡螺(Chambered Nautilus)殼的生長方式，使牠可以一直保持以同一形狀，其秘密是殼內的螺旋形。我們可以利用一個1 : 1.618的長方形畫出鸚鵡螺殼的切面：在長方形內畫一條線，間出一個正方形空間，你會發現另外一邊是一個較小的1 : 1.618的長方形((1.618 - 1) : 1)。如此重複間出正方形，再在正方形內畫出弧線，就可連成一個名為「黃金螺旋」的形狀。
3. 「宇宙中的星系成黃金螺旋」。
4. 「巴特農神殿的建築設計根據黃金比例」。話說古希臘的巴特農神殿(Parthenon)有許多橫樑和支柱的比例都是1 : 1.618。
5. 「DNA雙螺旋結構的闊高比是黃金比例」。話說DNA轉一圈(360度)的高是3.4 nm，而直徑是2.1 nm，其比例約是1.619 : 1，接近黃金比例[5]。
6. 「乎合黃金比例的人身/面最漂亮」。這曾是達文西的主張，也在其作品「蒙娜麗莎」表現出來。
對黃金比例的崇拜
有不少人，除了尋找黃金比例的蹤影，甚至還產生了對黃金比例的崇拜。主張「科學和靈性結合」的The John Templeton Foundation以鸚鵡螺殼作標記[2]，馬灣公園也有個「金律廣場」，裡面有個巨型鸚鵡螺殼藝術品[3]。有些人認為黃金比例普遍的存在，是上帝存在，萬物來自創造的證據[4-6]。另外一些人則將之和神秘和古文明拉上關係[7,8]。
我曾經沒有質疑這些說法，但經過仔細考究，卻發現這些所謂「上帝比例」大都是穿鑿附會，屬於網上流言。這些錯誤可以歸為三類：(一)資料錯誤；(二)另有科學解釋；(三)判斷太主觀。以下是我對例子1-6的考究結果：
1. 「向日葵花中心的種子根據黃金比例排列」。這個例子中葵花籽的排列的確乎合黃金比例，但這不代表向日葵企圖「乎合」黃金比例。黃金比例是無理數(irrational number)當中最「無理的」-- 即最難用整數的分數求近似值[1]。葵花籽的排列因而不會成放射(e.g.用1/5)或螺旋狀(e.g.用圓周率pi)，可以用最少的空間放最多的籽。葵花籽的排列和細胞分裂的角度有關，當不同角度導致不同的空間使用率，根據物競天擇的原理，此角度差將趨向黃金比例，於是向日葵進化成今天的模樣。
2. 「鸚鵡螺殼的切面成黃金螺旋」。鸚鵡螺殼的螺旋十分有序，使鸚鵡螺可以利用一貫簡單方式由內而外生長。可惜，其切面並不是黃金螺旋，且看下圖就一清二楚：左邊的是黃金螺旋，右邊的是鸚鵡螺殼的切面。
設計The John Templeton Foundation標誌的人也許沒有發現，標誌本身已經暴露了這個問題：根本不像鸚鵡螺殼。其實，世上許多螺旋形都可保軟體動物的殼長大時維持同一形狀，它們被稱為「對數螺旋」(logarithmic spirals)，而黃金螺旋只是其中一種。
3, 4. 「宇宙中的星系成黃金螺旋」、「巴特農神殿的建築設計根據黃金比例」。這幾個純屬信口雌黃，根本沒有計算證明。數學家Keith Devlin無奈地回應：「當然，實際的測量並不支持『雅典巴特農神廟基於黃金比例』的傳言。事實上，整個講述希臘人和黃金比例的故事似乎都是毫無根據的。我們確實知道的是，歐幾里得在公元前300年左右寫的著名的書《元素》中，說明了如何計算它的值。」[9]。另外，在沒有計算機的古希臘，為什麼有整數的比例(e.g. 2:3)不用，要用一個極為難表達的無理數？
5. 「DNA雙螺旋結構的闊高比是黃金比例」。 DNA有三種形態：A, B和Z form，在不同的環境下DNA有不同的結構，所謂「闊高比」究竟指那一個形態？即使局限於水溶液中的B-form，其直徑也是2.2 - 2.6 nm而非2.1 nm，所以其比例是1 : 1.308 - 1.545，和黃金比例差很遠呢(偷偷減去了0.1 nm是為什麼？)。
6. 「乎合黃金比例的人身/面最漂亮」。我們知道美醜因人而異，因時(年紀、年代)而異，美學的標準並非永恆。究竟藝術家真是根據黃金比例繪畫，還是人們從名畫中找尋黃金比例？不合黃金比例的地方為何避而不談？你真的覺得蒙娜麗莎是美女嗎？此外，也沒有達文西留下的文字，說他曾用黃金比例畫《蒙娜麗莎》。
結語
黃金比例數學上的奇特性當然是存在的，例如其無理性以及和斐波納契數列(Fibonacci Series)的關係。但個人認為，人們崇拜黃金比例這個現象，比起黃金比例本身更加有趣。究竟是何人們總是喜歡在自然中找尋其他智慧或意圖呢？
有科學家認為這是基於人的本能：有個有趣的說法，當你看見前面一個草堆在動時，你最好把「有野獸在裡面」一拼考慮。大自然充滿各種捕食者，寧可迷信、多疑一點，過份理性反而會被吃掉。這些都是原始人類有神化自然事物(風、雷、海和火山)傾向的原因[10]。
另外，隨人類文明的發展我們留意的訊息也越來越多。儘管沒看見其他人，當我們看到一些類似和人有關的形狀(如人面和符號)，很自然就會注意，認為是有人弄上去的，我們甚至會聯想那個是甚麼人。「發現火星上的人面」正是這麼一會事[11]。
估計許多人(包括學者)還會利用錯誤的資料和論證，不斷重申黃金比例證明大自然中有規律。這種行徑乎合科學的精神嗎？我看不然。撇除不仔細查證資料，通常這些人列舉完「大自然中的黃金比例」，不加解釋只讚嘆「造物神奇」，然後草草完結文章。這和科學的精神完全是南轅北轍：科學的目的是去理解自然，去發問和嘗試給予解釋，如黃金比例果真俯拾皆是，那麼這的確是世上最有趣的問題之一，更應嘗試思考可能的解釋，而非含糊其詞，為之披上多一層神秘的面紗。
從有關黃金比例的謠言現象可見，崇拜神秘或製造神秘感根本無助找出世界的真像，反而助長了謠言的流行，學習科學的人不可不引以為戒。
主要參考：
Fibonacci Flim-Flam. http://www.lhup.edu/~dsimanek/pseudo/fibonacc.htm
其他參考：
[2] The John Templeton Foundation. http://www.templeton.org/
[4] (Youtube影片) 1.618 Phi, The Golden Ratio, God Creator of Heaven and Earth. http://www.youtube.com/watch?feature=player_embedded&v=0hvD5kLqjuw
[5] Golden ratio - CreationWiki, the encyclopedia of creation science. http://creationwiki.org/Golden_ratio
[6] Theology and implications related to Phi, the Golden Ratio. http://www.goldennumber.net/theology.htm
[7] Sacred Geometry. http://www.crystalinks.com/sg.html
[8] World Mysteries - Science Mysteries, Fibonacci Numbers and Golden section in Nature. http://www.world-mysteries.com/sci_17.htm
[9] "Certainly, the oft repeated assertion that the Parthenon in Athens is based on the golden ratio is not supported by actual measurements. In fact, the entire story about the Greeks and golden ratio seems to be without foundation. The one thing we know for sure is that Euclid, in his famous textbook Elements, written around 300 BC, showed how to calculate its value." Keith J. Devlin The Math Instinct: Why You're A Mathematical Genius (Along With Lobsters, Birds, Cats, And Dogs) New York: Thunder's Mouth Press, 2005, ISBN 1-56025-672-9
[10] On Superstition - James Randi Educational Foundation. http://www.randi.org/site/index.php/swift-blog/330-on-superstition-.html
[11] NASA - Unmasking the Face on Mars. http://science.nasa.gov/science-news/science-at-nasa/2001/ast24may_1/
其實黃金比例是唔是無理數??
回覆刪除以下是一個數學證明，證明黃金比例是無理數
回覆刪除http://charlottedillonphd.com/bob/golden.htm
黃金比例
回覆刪除https://zh.wikipedia.org/wiki/%E9%BB%84%E9%87%91%E5%88%86%E5%89%B2%E7%8E%87