[進階物理] 狹義相對論的同時性

在「霍金的時間」裡，我談到「狹義相對論中，時間和空間是相對的，同時性也是相對的」。本文旨在用「時空圖」(spacetime diagrams)來簡單展示狹義相對論(special relativity)如何導致同時性(simultaneity)相對而非絕對。

同時性：想像你在家中開電視時，留意到窗外的天上有一道閃電，兩事是同時發生的，換句話說，那兩件事具有同時性。日常經驗中，如有正確的認知，一人認為兩件事同時發生，另一人也必認為如此；如以上的例子中，你母親不該認為你開電視十秒後才有閃電。然而在狹義相對論中，同時性是相對於觀察者速率(物理上「速率」包括方向)，即一人認為兩件事同時發生，另一人可以不認為如此。

時空圖：其實只是一個座標圖，當中有兩種座標軸：一維的空間軸(x)和時間軸(t)(圖一)(註1)。它可用來簡單地表達(1)事件的發生和(2)物體和觀察者的運動，進而分析狹義相對論中的概念；真實世界中空間有上下、左右、前後三維(three dimensions)，只要把時空圖一維的空間擴充至三維便可(加上時間是四維，但人腦難以想像四維，所以只有以純數學處理)。

圖一

一、牛頓物理的相對運動

先從日常經驗入手，了解牛頓物理的相對運動(relative motion)，有助我們明白為何要引入狹義相對論。

情境一：一人以1.5 m/s的速率運動，旁有一車以3 m/s向同一方向運動(圖二)

圖二

那麼車相對那人的速率是多少？因為人也在運動，在他看來車的速率少於3 m/s。

車相對人的速率 = 3 - 1.5 = 1.5 m/s

這結果合乎我們的常識，並將有利我們了解情景二。

情境二：在太空中，一人靜止不動，以電筒照射出一條光線；太空船沿光線同一方向以1.5 x 10⁸ m/s的速率運動，人和太空船在某時刻相遇(圖三)。

圖三

真空中，光的速度約為3 x 10⁸ m/s，這太空船的速度剛好是它一半。

如我們以時空圖表達以上情況，將會如圖四一樣。人和太空船在t = 0的時間，在x = 0的位置相遇，橙色線是光在時空的軌跡，而藍色線是太空船的軌跡。當一秒過去後，太空船前進了1.5 x 10⁸ m，兩秒後，太空船共前進了3 x 10⁸ m…

圖四

由於人靜止不動，他的位置一直都是x = 0，所以他在時空的軌跡就是t軸，而整個x-t座標系統就是這個人的座標系(reference frame)。這樣看來，太空船的軌跡也可看成是其座標系中的時間軸(t’)。

回想情境一中，車相對人的速率可以兩者速率減出。

同理，情境二中，光相對太空船的速率 = 3 x 10⁸ - 1.5 x 10⁸ = 1.5 x 10⁸ m/s。

所以相對人來說，光的速率是3 x 10⁸ m/s，但對於太空船來說卻是1.5 x 10⁸ m/s，兩者不同。問題是這不乎合我們的實際觀察。實際的觀察中，對於以任何速率運動的觀察者，真空中的光速都是3 x 10⁸ m/s！

就是由於光速的絕對性，這個現代的物理定律，我們必須修正牛頓物理，引入狹義相對論。


二、相對論的同時性

留意，從這裡開始，我們要假設相對論的前設：對於任何觀察者光速都是3 x 10⁸ m/s。

由於如此，加上我刻意把一秒和3 x 10⁸ m畫成相同長度，光在時空圖的軌跡永遠都成+/-45度角。(見圖四)

現在看看情境三：這情況和情境二相同，只是原本的太空船A前面3 x 10⁸ m，有另一艘太空船B以1.5 x 10⁸ m/s向同一方向運動(兩者速率相同，所以B相對A是靜止的)。這次是太空船A在t = -1 s向前照射出一條光線，而太空船B的尾有一面鏡子反射光線給A(這也是它這裡唯一功用！)。(圖五)

圖五

在太空船A的座標系(x’-t’)表示出來會是如何呢？ A在t’ = -1 s 發射光線後，在t’ = 0光線被B反射，在t’ = 1 s回到A。同樣光的軌跡總是成45度。(圖六)

圖六

好，現在我們試試把A的座標系，畫在那靜止的人的座標系。這樣可以得出有趣的結果！

記住太空船A和那人在t’ = t = 0, x’ = x = 0相遇，先如圖四畫上t’軸。光的軌跡總是成45度，也畫上光的軌跡。(圖七)

圖七

記住在t’ = 1 s光線回到A，而光的軌跡總是成45度。這個光軌跡的轉向成90度，轉向的一點代表t’ = 0這個時刻，所以可畫上太空船A的空間軸x’。(圖八)

圖八

在圖八中，我們看見運動中的太空船A的座標系，相對於靜止的人來說是扭曲了的。所以所謂時間和空間，都是相對於觀察者，而非如牛頓物理中是絕對的。(註2)

更奇怪的是，相對太空船A來說，「A和人相遇」和「光反射了」兩個事件都是在t’ = 0發生的。但相對那人來說，「A和人相遇」在t = 0時發生，而「光反射了」是在之後才發生的。

太空船A認為是同時的事，對人來說卻不是。所以相對論中，由於光速絕對，時間、空間、同時性都是相對的。但由於我們日常經驗中的相對速率都遠低於光速，這些相對論的影響都難以察覺。


進階閱讀：

[狹義相對論] 雙生兒佯謬(Twin Paradox)存在嗎？

http://adrianmkl.blogspot.com/2018/06/twin-paradox.html

Special relativity | Physics | Science | Khan Academy
https://www.khanacademy.org/science/physics/special-relativity


註1：在相對論中常用的時空圖 - 閔可夫斯基圖(Minkowski diagrams) - 中，時間軸將乘以c，即光速，變成ct，以表示時間和空間在時空(spacetime)中的連續性(continuum) 。但這裡為了簡化，只用t。

註2：所謂扭曲，也是相對的。相對太空船A，人的座標系也是扭曲了，也可以時空圖表達出來，只是「正常」的座標換成了太空船A的。

霍金的時間

愛因斯坦友人貝索(Michele Besso)去世之後，他寫給其家人的信中說到：

「現他比我稍早一點離開這奇怪的世界。那沒有任何意義。像我們這些相信物理學的人知道，過去，現在和將來間之區別，只是一種頑固不變的幻覺。」

("Now he has departed from this strange world a little ahead of me. That means nothing. People like us, who believe in physics, know that the distinction between past, present and future is only a stubbornly persistent illusion.")

狹義相對論中，時間和空間是相對的，同時性也是相對的。事件發生的先後，取決於觀察者的速率和移動方向。見圖一：想像B以一半光速離開A ，對於A來説，C、D、E三個事件是同一時間發生的，但對B來說，E先於D而D先於C(見x’軸和C、D、E的關係)。於是所謂過去、現在、將來都不是絕對的，而是相對於觀察者。(詳解見[1])

圖一、相對論中同時性不存在。ct、ct’為時間軸，x、x’為空間軸。黑色是A的座標軸，紅色是B的座標軸。

一、霍金的宇宙

霍金繼承了愛因斯坦等科學家的知識遺產，對時空、宇宙的本質和起源做了最深入的思考。他最為人熟知的，是對黑洞的研究。黑洞不是洞，而是大質量之恒星「燃料」耗盡後塌縮而形成的，密度極高的天體。極度集中的質量嚴重扭曲了時空，附近的物質和光都會被黑洞吸入，物理學家一度以為黑洞是「有入無出」，永久存在的。

霍金以數學計算出黑洞不是永久，而是會因為放出微弱的輻射而散失質量(因質能等價)，最後消失的，這種輻射被稱為「霍金輻射」。但他對黑洞研究最大的貢獻，反而是年輕時用數學證明了黑洞中心「奇點」(singularity)的存在。奇點是黑洞中心質量無限大的一點，這也是物理學少有認同真實世界「無限」的存在。後來因為哈勃發現宇宙膨脹，霍金回溯時空的過去，發現宇宙會有一個起點，這起點也是一個奇點，被稱為「大爆炸理論」。於是，本來對於黑洞的研究，讓我們對宇宙和自己的來源產生了新的理解。

然而，霍金的宏願不止於此，他要尋找的，是解釋宇宙一切的「萬有理論」(The Theory of Everything)。

「我的目標很簡單。就是對宇宙的完整理解，它為何如此以及它為何存在。」-《霍金的宇宙》(Stephen Hawking’s Universe)

(“My goal is simple. It is a complete understanding of the universe, why it is as it is and why it exists at all.”)

當代物理學的「聖杯」，在於找出統一相對論和量子力學的「大統一理論」(Grand Unified Theory)；如找出這個理論，我們現今知道宇宙中的三種基本力：引力、電弱力和強力 (gravitation, electroweak and strong interaction)，都可以同一來源解釋。另外，相對論和量子力學在不同領域的解釋和預測能力都十分高，但二者之間就不甚相容，在找尋終極真相的科學家來說，這是不能接受的。霍金對企圖結合引力和量子力學的「量子引力」(quantum gravity)，進而求得統一理論，然而這未竟之願現在要由後人繼承了。


二、醫生說兩年，他活了五十五年

不如我們所想，傑出的霍金讀本科時，不是成績最好的學生：他說他在牛津大學的三年間，學習只用了約1000個小時，即每天不足一小時；他只達到一級榮譽的最低資格，入劍橋大學做研究。他21歲時被診斷「肌萎縮性脊髓側索硬化症」(Amyotrophic lateral sclerosis; ALS)，醫生預測他只有兩年壽命，當時他以為自己的生命已經完了。然而病程發展得比預期慢，霍金又可以繼續他的研究。他後來在《衛報》的訪問中說到：

「過去49年來，我一直活在自己會早逝的預期中。我不害怕死亡，但我不急於死亡。我有很多我想做的事。」

(“I have lived with the prospect of an early death for the last 49 years. I'm not afraid of death, but I'm in no hurry to die. I have so much I want to do first.”)

不知是否因為死亡的無限逼近，霍金一洗年少時的慵懶，投入心愛的研究，結果造出輝煌的成就。

霍金和第一任妻子珍妮(Jane Wilde)在大學同學的派對上相遇。他患上ALS後不久和珍妮結婚，他們拒絕被恐怖的命運擊敗，繼續走下去。[2] 預期兩年的婚姻，最後變成了30年，珍妮付出了青春，成就了霍金的傳奇；霍金後來表示，和珍妮訂婚給了他「活著的原因」。[3] 霍金和妻子經過數十年後最終離婚，二人之後都和其他人結了婚，但珍妮對霍金一直不離不棄。時光總是讓愛情悄悄溜走，然而感情卻會留下來。

霍金不只對科學鍥而不捨，對知識也是充滿熱情；他的科學觀也啟發了自己和他人對人生的看法。他說：

「科學不僅是理性的門徒，同時也是浪漫和熱情的門徒。」- PARADE雜誌

("Science is not only a disciple of reason, but, also, one of romance and passion,")

「顯然我們只是在千億銀河的邊陲上，圍繞一平凡恆星運行的，一顆非常小的行星上的先進靈長類動物。但是，自文明曙光以來，人們渴望了解世界的潛在秩序。關於宇宙的邊界情況，應該是非常特殊的。還有什麼比沒有邊界更特別呢？人類的努力應該也沒有邊界。我們都是不同的。無論生活如何糟糕，總有些事你是可以做且成功的。哪裡有生活，哪裡就有希望。」

("It is clear that we are just an advanced breed of primates, on a minor planet orbiting around a very average star, in the outer suburb of one among a hundred billion galaxies...
But, ever since the dawn of civilization, people have craved for an understanding of the underlying order of the world. There ought to be something very special about the boundary conditions of the universe. And what can be more special than that there is no boundary?
And there should be no boundary to human endeavor. We are all different. However bad life may seem, there is always something you can do, and succeed at. While there is life, there is hope.")


結語

霍金死了。死亡對我們來說，是一切的終結，過去的已經完了，不再存在。但是科學告訴我們，將來與過去，無論是宇宙的哪個角落，都如此時此地般真實存在。也許，在數十億光年外，有位正在離開我們的外星朋友，對他來說在牛津大學正有位懶惰的學生，還未知道自己一生的艱辛和使命，還未和一生的知己邂逅，還未對宇宙作深入的探問，他的人生才剛剛開始。


參考

[1] Relativity of simultaneity – Wikipedia. https://en.wikipedia.org/wiki/Relativity_of_simultaneity

[2] Jane Hawking: ‘There were four of us in our marriage’ | Life and style | The Guardian. https://www.theguardian.com/lifeandstyle/2015/may/16/jane-hawking-there-were-four-of-us-in-marriage-stephen-hawking-theory-of-everything

[3] Ferguson, Kitty (2011). Stephen Hawking: His Life and Work. Transworld. ISBN 978-1-4481-1047-6.